14주차-2. 선형변환

 

 

선형 변환 은 선형성을 갖는 f가 입력된 값을 별도 값으로 출력하는 것.

 

1. 선형 변환이란

2. 변환이란 무엇인가

변환 : 단순히 벡터와 행렬의 곱

벡터와 행렬의 곱에서 행렬 : 입력한 벡터를 다른 벡터로 변환하여 출력하는 함수

 

3. 선형 대수에서의 함수

함수 = 변환 = 사상 = 맵핑 = 대응

 

4. 함수와 변환의 차이

함수 : 단순히 입력값에 대한 새로운 값을 출력하는 것

변환 : 함수의 의미 + "입력한 벡터가 출력되는 벡터 쪽으로 변화한다" 

 

 

 

5. 1차 함수(직선 방정식)도 선형 사상의 일종!

6. 선형사상

선형 사상은 어떤 값과 어떤 값을 대응시키는 것이라는 이미지로 생각하면 이해하기 쉬움

 

선형사상(linear map)

1변수끼리 또는 다변수 끼리를 대응관계

 

 

[선형사상 예시]

 

 

7. 변환이란 무엇인가

'변환' 이라는 단어는 '벡터를 행렬에 입력하면 그 벡터가 새롭게 출력되는 벡터로 변화한다' 는 것을 의미

 

8. 선형 변환의 "선형"은 무슨 의미?

• 앞에서는 쉽게 설명하기 위해서 하나의 벡터만을 대상으로 했지만 실제로는 선형 변환에서는 하나의 벡터만 변화하는 것이 아니라, 아래의 왼쪽 애니메이션 그림 처럼 공간 전체가 변화하고 있다.

• 여기서 그리드선에 주목하면 선형 변환 전이나 선형 변환 후에도 직선은 직선으로 유지된다. 이렇게 변환 후 에도 직선을 유지하고 있기 때문에 “선형”이라는 용어를 붙이다.

• 비선형 변환은 매우 아름답지만 곡선을 다루기 때문에 매우 복잡하다. 한편, 선형 변환은 직선만을 취급하기 때문에 조작하기 쉽다는 특징이 있다.

 

9. 선형 변환의 특징 3가지

1) 변환 전이나 변환 후에도 직선은 직선 그대로

2) 변환 전이나 변환 후에도 원점은 변함없이 고정

3) 모든 직선은 평행하고 등간격

 

 

10. 선형 변환을 직관적으로 이해하는 방법

• 선형 변환이란 행렬에 의해 공간을 변화시키는 것, 그리고 어떤 행렬로 변환하는지에 따라 공간이 어떻게 변 형되는지가 다르다.

• 예를 들어 다음 행렬 A는 공간을 반전시키고, 행렬 B는 공간을 전단 (=평행 방향으로 왜곡) 시킨다.

 

 

11. 기저의 변환 행렬이란

 

 

12. 선형 사상의 표현행렬(행렬표현)

 

 

13. [정의] 선형사상

 

14. [예] 선형사상

 

 

15. 선형사상(변환)의 표현행렬(행렬표현)

 <표현행렬(행렬표현) 이란?>

 

 

16. [예] 선형사상(변환)의 표현행렬(행렬표현)을 구해보자

 

표준기저에 관한 선형사상의 표현행렬은 f(x) = Ax 형태로 해서 구할 수 있다.

 

 

17. 정리 

 

18. 기저 벡터의 움직임에 주목

 

 

 

19. 변환행렬이란? - 변환행렬이란 기저 벡터의 목적지(변환 후)를 지정하는 것

 

 

20. 행렬이란 기저 벡터의 목적지(변환결과)를 지정하는 것

 

 

 

21. 대표적인 선형변환 행렬 종류 - 반전 행렬

 

 

22. 대표적인 선형변환 행렬 종류 - 회전행렬

 

기타

- 압축행렬, 신장행렬, 사영행렬, 전단행렬