11주차. 벡터 공간-2(생성/기저/차원)

 

[ 벡터공간 ] 

1. 벡터공간과 선형독립

1) 벡터공간과 부분공간

2) 선형독립과 선형종속

 

이 부분에 대한 내용은 해당 게시글에서 정리해두었습니다. 

https://erase-jeong.tistory.com/75

선대 10주 . 벡터공간에 대한 개념 이해

 

2. 생성, 기저,  차원

1) 생성

2) 기저

3) 차원

 

=> 이 게시글에서 다룰 큰 주제

=> 밑의 표 : 세부내용들

1.벡터공간의 생성 2. 유한 생성한 부분공간과 선형 생성(Span) 3. 생성(span) 4. 기저(Basic)  5. 기저의 조건 6. 기저에 의한 벡터 표현의 유일성 7. 표준 기저(Standard Basis, 자연기저) 8. 차원(Dimension), (Dim) 9. 성분(Element) 10. 순서기저와 좌표벡터 11. 기저의 변환 12. 기저를 변환할 수 있는 행렬의 조건 13. 기저변환과 행렬 정칙의 관계

 

1.벡터공간의 생성

 <벡터공간의 생성>

 

2. 유한 생성한 부분공간과 선형 생성(Span)

 

<적당한 벡터의 선형결합(1차결합)으로 부분공간 만들기>

어떤 벡터(선형) 공간으로 부터 적당히 몇개의 벡터를 가지고 와서,

그 벡터의 선형 결합(1차결합) 전체 의 집합을 만드는 것만으로 부분 공간을 만들 수 있다.

 

 

<유한 생성한 부분공간>

집합 𝑽는 𝑭상의 벡터(선형) 공간이고,

a₁ ~  aᵣ 는 𝑽에 있는 벡터이다.

이때 a₁ ~  aᵣ 의 선형 결합(1차결합)전체의 집합

는 𝑽의 부분 공간이다.

 

 

• 실제로 어떤 선형결합(1차결합)끼리 덧셈이나 스칼라배를 계산하여도

결국은 선형결합(1차결합)의 형태 가 된다.

즉, 절대적으로 1차 결합 전체의 집합에 포함되므로 위의 내용이 성립을 확인할 수 있다.

 

• 이러한 부분 집합 𝑾 는 특히 a₁ ~  aᵣ  에 의해 생성된 부분 공간이라고 한다.

 

• 그리고 벡터 a₁ ~  aᵣ 을 𝑾의 생성집합(혹은 생성계)라고 한다

 

 

※ 𝑭는 스칼라의 집합으로 실수나 복소수의 집합이다.

3. 생성(span)

---

[예제 1]

 

 

[예제 2]

 

4. 기저(Basic) 

[설명 1]

xy평면에 있어서 “x축 벡터와 y축 벡터”라는 조합을, 벡터 공간의 세계에서는 “기저”라고 한다.

 

[설명 2] 

- 벡터공간 𝑽가 이 아닌 (영벡터 이외의 요소를 갖는) 요소를 가질 때 𝑽에 있는 벡터가 다음의 2 가지 조건을 만족하는 𝒏개의 벡터 a₁, a₂, ... , aₙ   이 있으면 이것을 기저 라고 한다.

 

2개의 조건을 하나의 조건으로 응축하면

 

[설명 3] 

 

[설명 4]

 

5. 기저의 조건

1) 선형 독립

2) 선형 생성(span)

 

6. 기저에 의한 벡터 표현의 유일성

 

 

[예제]

 

7. 표준 기저(Standard Basis, 자연기저)

8. 차원(Dimension), (Dim)

(설명1)

• 어떤 벡터공간(선형공간)의 기저를 취급하는 방법은 많이 있다. 그러나. 사실, 기저를 구성하는 벡터의 수는 고정되어 있다는 것이다.  <-   선형 독립(1차 독립)이고 생성이 되는 벡터

• 이때, 기저를 구성하는 벡터의 개수를 차원이라고 한다

 

(설명2)

 

• 예로 xy평면은 “x축 벡터와 y축 벡터＂의 두개의 벡터로 기저를 구성하고 있다. 차원은 2차원이다.

• 당연한 말이지만, 어떤 벡터공간 V에 관해서 다음의 3가지 명제는 동치이다

 

(설명3)

 

[예제 1]

 

[예제 2]

9. 성분(Element)

 

[설명]

 

10. 순서기저와 좌표벡터

 

        기저 B={v1,v2, ..., vn}

• 순서기저 :  기저 B 의 벡터에 순서를 부여한 기저

       벡터 v를 순서 기저벡터의 선형결합인 v=c1v1+c2v2+ ... + cnvn 으로 표현할 떄

• 기저 B에 대한 벡터 v의 좌표 : c1, c2, ... , cn
• 좌표벡터 : 이들 좌표를 이 순서에 따라 벡터의 성분으로 나열한 [v]B

 

11. 기저의 변환

 

[예]

12. 기저를 변환할 수 있는 행렬의 조건

 

[예]

 

13. 기저변환과 행렬 정칙의 관계