선대 10주 . 벡터공간에 대한 개념 이해

10주. 벡터공간

 

<학습내용 정리>

1. 벡터공간은 벡터들 간의 합과 스칼라 곱에 대해 닫혀있으며, 그 밖의 8가지 성질들을 만족함을 살펴봄.

2. 부분공간의 성질들을 예를 들어 고찰함

3. 벡터공간에서의 주요 논제 중의 하나인 선형독립과 선형종속의 개념과 차이점을 예제들을 통하여 학습함

4. 몇 개의 벡터들이 벡터공간을 생성할 때의 경우를 여러 가지 예외 그림을 통하여 알아봄

5. 선형독립과 생성의 조건들을 동시에 만족할 때의 최소한의 벡터들을 기저라고 하는데, 이와같은 기저의 조건을 고찰하고 기저의 개수인 차원에 대해서 학습함.

 

 

<목차>

벡터공간 

1) 벡터공간과 선형독립

 6.1.1 .벡터공간과 부분공간

6.1.2 . 선형독립과 선형종속

 

 

2) 생성, 기저, 차원

6.2.1 생성

6.2 2 기처

6.2 3 차원

 

1. 위치벡터 2. 기본 벡터 3. 좌표계 4. 1차 독립 5. 1차 종속 6. 직교 좌표계 7. 좌표계의 의미 (벡터의 연결) 8. 벡터공간(선형공간)이란? 9. 벡터공간(선형공간) 조건 10. 벡터공간의 구분 (2가지) 11. 벡터공간의 정의 / 성질 12. 영벡터공간 13. 부분공간 14. 부분공간의 조건 15. 부분공간의 조건 정리 16. 선형결합 17. 선형독립(1차결합) 18. 선형종속(1차종속)

 

 

6.1 원점과 위치 벡터

1. 위치벡터 : 점의 위치는 표현하는 벡터

 

cf) 점 과 위치벡터

     위치벡터는 원점으로부터 P까지의 방향과 길이를 나타낸다.

 

2. 기본 벡터

 

- 모든 점의 위치 : 원점 + 1개의 벡터로 표현

- 미리 몇 개의 벡터 𝒂 -> , 𝒃 -> , c -> 를 준비해 두고, 모든 점의 위치 벡터를 그 벡터의 조합 xa+yb+zc 으로 표현하면

- 3개의 실수(x,y,z)의 조합만으로 위치를 표현할 수 있다.

=> 이러한 벡터 a->, b-> , c-> 를 기본벡터라고 부른다.

 

 

3. 좌표계

- 원점과 기본 벡터의 조합 {O : a-> , b-> , c->} 를 좌표계라고 한다.

 

 

 

4. 1차 독립  //아직 이해 x

 - 1개의 벡터를 나머지 2개의 벡터 조합으로 표현 불가능

    => 3개의 벡터가 같은 평면에 없음

 

 

5. 1차 종속

- 1개의 벡터를 나머지 2개의 벡터 조합으로 표현가능

=> 3개의 벡터가 같은 평면에 있음

 

6. 직교 좌표계

 

 

7. 좌표계의 의미 (벡터의 연결)

"좌표" 라는 개념은 벡터를 연결한 것이다.

 

 

8. 벡터공간(선형공간)이란?

" 벡터와 같은 성질을 갖는 요소들의 집합 "

 

 

9. 벡터공간(선형공간) 조건

 

(1) 집합이다.

 

 

 

(2) 덧셈(합) 과 스칼라 곱의 연산규칙이 있다.

 

 

(2_2) 덧셈(합)과 스칼라 곱이 다음 7개 조건을 만족해야 한다.

 

 

10. 벡터공간의  개념정리 / 구분 (2가지)

<벡터공간의 개념 정리>

 

<벡터공간의 구분>

 

벡터공간은 스칼라 곱의 연산에 이용되는 스칼라 집합에 따라서 그 명칭을

1) 실벡터공간(real vector space) 과

2) 복소벡터공간(complex vectorspace)

의 2가지로 나누어진다.

 

1) 실벡터공간 (real vector space)

스칼라로서 실수가 사용된다라고 전제하는 경우, 

벡터공간중에서도 실벡터공간(실선형공간) 또는 실수상의 벡터공간 이라고 한다.

 

2) 복소벡터공간(complex vectorspace)

스칼라로서 복소수가 사용된다라고 전제하는 경우는 

벡터공간중에서도 복소벡터공간(복소선형공간) 또는 복소수상의 벡터공간이라고 한다.

 

 

11. 벡터공간의 정의 / 성질

 

 

 

12. 영벡터공간

 

 

영벡터 0 하나만으로 구성되는 벡터 공간 {0}

하나의 원소로만 이루어진 공간벡터

이 하나의 원소를 0으로 나타내는데 0+0=0. a * 0 = 0 (a 가 실수에 속한다)

 

 

13. 부분공간(SubSpace)

 

 

14. 부분공간의 조건

 

 

 

15. 부분공간의 조건 정리

 

 

 

 

16. 선형결합

 

17. 선형독립(1차결합)

 

<수식적 정의>

 

<반대>

18. 선형종속(1차종속)

 

 

19. 선형종속과 선형독립